
Soal
Kunci Jawaban dan Pembahasan
Pembahasan: Karena 𝑔(𝑥)=2𝑥+1+𝑓(𝑥) maka 𝑔(2𝑥)=4𝑥+1+𝑓(2𝑥). Akibatnya:
𝑓(2𝑥+1)=𝑔(2𝑥)−𝑥 →𝑓(2𝑥+1)=4𝑥+1+𝑓(2𝑥)−𝑥 → 𝑓(2𝑥+1)−𝑓(2𝑥)=3𝑥+1
Dengan mensubtitusi 𝑥=1010 ke dalam persamaan fungsi, diperoleh:
𝑓(2.1010+1)−𝑓(2.1010)=3.1010+1 →𝑓(2021)−𝑓(2020)=3031
Pembahasan: Untuk memudahkan pengerjaan, bagi masalah soal dalam dua tahap yaitu tahap
pengambilan (tanpa memperhatikan urutan) dan tahap penyusunan. Jelas bahwa
ada 5 huruf konsonan dan 2 huruf vokal (A dan E). Dengan demikian,
terdapat 3 buah kasus, yaitu :
• Jika A dan E tidak terpilih
Banyaknya cara pada tahap pengambilan adalah C55=1. Sedangkan, banyaknya
cara pada tahap penyusunan adalah 5!=120. Dengan demikian, total cara
penyusunan pada kasus ini adalah 1×120=120 cara.
• Jika salah satu di antara A dan E terpilih
Banyaknya cara pada tahap pengambilan adalah C21C54=2×5=10. Sedangkan,
banyaknya cara pada tahap penyusunan adalah 5!=120. Dengan demikian, total
cara penyusunan pada kasus ini adalah 10×120=1200 cara
• Jika A dan E terpilih
Banyaknya cara pada tahap pengambilan adalah C22C53=1×10=10. Karena A dan
E terpilih maka sesuai aturan yang diinginkan soal, pada tahap penyusunan
huruf A dan E tidak boleh berdekatan. Perhatikan bahwa, andaikan tanpa
aturan tertentu, banyak cara pada tahap penyusunan adalah 5!=120.
Sedangkan, andaikan jika huruf A dan E berdekatan maka keduanya dapat
dianggap satu kesatuan dengan 2 bentuk/cara (AE atau EA) sehingga
seolah-olah hanya terdapat 4 huruf yang harus disusun. Akibatnya, jika A
dan E berdekatan, maka banyak cara menyusun huruf-huruf tersebut adalah
2×4!=48 cara.
Dengan begitu banyak cara menyusun huruf-huruf tersebut agar A dan E
tidak berdekatan adalah 120−48=72×10=720 cara. Kemudian total banyaknya
cara menyusun huruf-huruf pada ketiga kasus dengan 2 huruf vokal tidak
boleh berdekatan adalah 120+1200+720=2040 cara.